Question

直線l：y＝(x－2)和雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，又l關(guān)于直線l₁：y＝x對(duì)稱的直線l₂與x軸平行．

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)求雙曲線C的方程．

Answer 1

解　

(1)設(shè)雙曲線C：－＝1過(guò)一、三象限的漸近線l₁：－＝0的傾斜角為α.

因?yàn)?i>l和l₂關(guān)于l₁對(duì)稱，記它們的交點(diǎn)為P.

而l₂與x軸平行，記l₂與y軸的交點(diǎn)為Q.

依題意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.

又l：y＝(x－2)的傾斜角為60°，則2α＝60°，α＝30°.

所以tan30°＝＝.

于是e²＝＝1＋＝1＋＝.所以e＝.

(2)由＝，可設(shè)雙曲線方程為－＝1，即x²－3y²＝3k².

將y＝(x－2)代入x²－3y²＝3k²，

得x²－3·3(x－2)²＝3k².

化簡(jiǎn)得8x²－36x＋36＋3k²＝0，則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

故所求雙曲線C的方程為－y²＝1.