Question

【題目】已知圓經(jīng)過變換后得曲線.

（1）求的方程；

（2）若為曲線上兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為且，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線被圓： 截得弦長(zhǎng)的最大值為，

此時(shí)，直線的方程為．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程：將代入得，化簡(jiǎn)可得（2）先根據(jù)斜率公式表示為，再聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，由垂徑定理得圓心到直線的距離最小時(shí)，弦長(zhǎng)最大，而，因此當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最大，可得此時(shí)直線的方程.

解：（Ⅰ）將代入得，

化簡(jiǎn)得，

即為曲線的方程．

（Ⅱ）設(shè)， ，直線與圓： 的交點(diǎn)為．

當(dāng)直線軸時(shí)， ，

由得或

此時(shí)可求得．

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立消得，

， ， ，

所以 ，

由得， ，

此時(shí)．

圓： 的圓心到直線的距離為，

所以，

得，

所以當(dāng)時(shí)， 最大，最大值為，

綜上，直線被圓： 截得弦長(zhǎng)的最大值為，

此時(shí)，直線的方程為．