Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+n+2．
（1）若a₁=1，求S_n；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），變形為a_n+n+2=2（a_n-1+n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，再利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）由（1）利用等比數(shù)列的定義即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），
∴a_n+n+2=2（a_n-1+n+1），
∴數(shù)列{a_n+n+2}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
∴a_n+n+2=4×2^n-1．
∴a_n=2ⁿ⁺¹-（n+2）．
∴S_n=$\frac{{4×（2}^{n+1}-1）}{2-1}$-$\frac{n（3+n+2）}{2}$
=2ⁿ⁺³-4-$\frac{n（n+5）}{2}$．
（2）∵b_n=a_n+n+2，∴b_n+1=a_n+1+n+3．
由（1）可得：b_n+1=2b_n．
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．