Question

【題目】已知數(shù)（其中）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）求函數(shù)的反函數(shù)

（3）若兩個(gè)函數(shù)與在區(qū)間上恒滿足，則函數(shù)與在閉區(qū)間上是分離的．試判斷的反函數(shù)與在閉區(qū)間上是否分離？若分離，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不分離，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，然后利用定義可判斷出函數(shù)的奇偶性；

（2）由（1）得，將兩個(gè)等式化為指數(shù)式，可解出，即可得出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的值域，作為函數(shù)的定義域；

（3）根據(jù)函數(shù)與在閉區(qū)間上分離得出不等式在區(qū)間上恒成立，令，得出，利用函數(shù)在區(qū)間上的最小值可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）對(duì)任意的，，則對(duì)任意的恒成立，

則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又，

，，

因此，函數(shù)為奇函數(shù)；

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，則，

所以，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

由（1）可得，

將上述兩個(gè)等式化為指數(shù)式得，解得.

因此，；

（3）假設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上分離，則，

即，整理得，即在區(qū)間上恒成立，

令，則，設(shè)，

，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，由題意得，

即，，解得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.