Question

【題目】已知函數(shù)，．

求證：對(duì)恒成立；

若，若，，求證：

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）先對(duì)不等式左邊進(jìn)行化簡整理，然后將整理后的表達(dá)式設(shè)為函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的分析，得到在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，命題得證．

（2）先對(duì)整理后的進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的分析，畫出函數(shù)大致圖象，可知，然后采用先取對(duì)數(shù)然后作差的方法比較大小，關(guān)鍵是構(gòu)造對(duì)數(shù)平均數(shù)，利用對(duì)數(shù)平均不等式即可證明．

證明：由題意，可知

．

令，則

，，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，．

故命題得證．

由題意，，．

，．

令，解得；

令，解得；

令，解得．

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在處取得極小值．

大致圖象如下：

根據(jù)圖，可知，．

，，

根據(jù)對(duì)數(shù)平均不等式，有

，

．

，

．

故得證．