Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex﹣ax﹣1，a∈R．

（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a≤0，求證：x≥0時(shí)，f（x）≥x2．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）將代入，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)即可求解.

（2）利用分析法，將不等式轉(zhuǎn)化為f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立，

令g（x）＝ex﹣ax﹣1﹣x2，研究的單調(diào)性即可證明.

（1）解：當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝ex﹣2x﹣1；

f′（x）＝ex﹣2；

當(dāng)f′（x）＝0時(shí)，x＝ln2；

∴f（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增；

（2）證明：令g（x）＝f（x）﹣x2；

即證當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立；

g′（x）＝ex﹣2x﹣a；

令h（x）＝g′（x），則h′（x）＝ex﹣2；

由第（1）問(wèn)可知，h（x）min＝h（ln2）＝2﹣2ln2﹣a；

∵a≤0；

∴h（ln2）＞0；

∴g′（x）＞0，即g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；

∴g（x）≥g（0）＝0；

∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x2．