Question

20．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$的極小值是e．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，再求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對函數(shù)定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，由此求出極值點(diǎn)，進(jìn)一步求得函數(shù)的極值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$的定義域為（0，1）∪（1，+∞）．
f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，1），（1，e）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）=$\frac{x}{lnx}$在（0，1），（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=e時，函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$的極小值是$\frac{e}{lne}=e$．
故答案為：e．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．