Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且，圓與軸交于點(diǎn)，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，面積最大值為.

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）圓的切線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）圓的方程為，橢圓的方程為.；（2）.

【解析】分析：(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組可得，，.則圓的方程為，橢圓的方程為.

(2)①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，計(jì)算可得.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得，由弦長(zhǎng)公式有.令，換元后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得.則的取值范圍是.

詳解：(1)因?yàn)?/span>，所以.①

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，所以.

設(shè)，則，所以.

當(dāng)時(shí)，，②

由①，②解得，所以，.

所以圓的方程為，橢圓的方程為.

(2)①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不妨取直線(xiàn)的方程為，解得.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為.

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以，即，

聯(lián)立，消去可得，

.

=

=.

令，則，所以=，

所以=，所以.

綜上，的取值范圍是.