Question

【題目】如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設(shè)的面積為，正方形PQRS的面積為.

（1）用a，表示和；

（2）當(dāng)a為定值，變化時(shí)，求的最小值，及此時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為

【解析】

（1）利用已知條件，根據(jù)銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；

（2）根據(jù)題意，將表示為的函數(shù)，利用倍角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用換元法，借助對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值.

（1）在中，，

所以；

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，

由，得，

解得；

所以；

（2）

，

令，因?yàn)?/span>，

所以，則，

所以；

設(shè)，

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，

因此當(dāng)時(shí)，有最小值，

此時(shí)，解得；

所以當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為.