Question

【題目】教材曾有介紹：圓上的點(diǎn)處的切線方程為我們將其結(jié)論推廣：橢圓的點(diǎn)處的切線方程為在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用,已知直線與橢圓E：有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求的值；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過橢圓E上的兩點(diǎn)A、B分別作該橢圓的兩條切線，且與交于點(diǎn)M

①設(shè)，直線AB、OM的斜率分別為,求證：為定值；

②設(shè)，求△OAB面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；②．

【解析】

（1）將直線代入橢圓方程，得到的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得的值；

（2）①設(shè)切點(diǎn)，，，，可得切線，，再由代入上式，結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線，可得切點(diǎn)弦方程，即有的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，即可得證；

②由①可得的方程為，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，求得的面積，化簡整理，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值．

解：（1）將直線代入橢圓方程，

可得，

由直線和橢圓相切，可得△，

解得（由；

（2）①證明：設(shè)切點(diǎn)，，，，

可得切線，，

由與交于點(diǎn)，可得，，

由兩點(diǎn)確定一條直線，可得的方程為，即為，

即有，，可得為定值；

②由①可得的方程為，

原點(diǎn)到直線的距離為，

由消去，可得，

，，

可得，

可得的面積，

設(shè)，

，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最大值．