Question

4．若圓錐的表面積是15π，側面展開圖的圓心角是$\frac{π}{3}$，則圓錐的體積是$\frac{25\sqrt{3}π}{7}$．

Answer 1

分析 設出圓錐的底面圓半徑r，母線長l，高h，根據(jù)題意求出r²、h即可求出圓錐的體積．

解答 解：設圓錐的底面圓半徑為r，母線長為l，高為h，則
圓錐的表面積是πr²+πrl=15π①，
側面展開圖的圓心角是$\frac{2πr}{l}$=$\frac{π}{3}$②，
解得r²=$\frac{15}{7}$，l²=$\frac{540}{7}$，
所以高h=$\sqrt{{l}^{2}{-r}^{2}}$=5$\sqrt{3}$；
所以圓錐的體積是：
V=$\frac{1}{3}$πr²h=$\frac{1}{3}$•π•$\frac{15}{7}$•5$\sqrt{3}$=$\frac{25\sqrt{3}}{7}$π．
故答案為：$\frac{25\sqrt{3}π}{7}$．

點評 本題考查了圓錐的表面積、側面展開圖的圓心角以及圓錐體積的計算問題，是基礎題目．