Question

如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；(Ⅱ) 詳見解析；(Ⅲ) 直線與平面所成角的正弦值為.

解析試題分析：（I）利用兩平面垂直的性質(zhì)定理，證明BC平面AEC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AEBC,根據(jù)勾股定理證明AEEC，利用線面垂直的判定定理證明AE平面BCEF;（II）三棱錐體積利用體積轉(zhuǎn)換為以E為頂點(diǎn)，為底面的椎體體積求得.等體積轉(zhuǎn)化，是立體幾何經(jīng)常運(yùn)用的一種方法，高考也考過．
試題解析：（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，∵，，，∴四邊形為正方形，∵為的中點(diǎn)，∴為的交點(diǎn)，∵， ，
∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，，，，，，則，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；                              

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，直線與平面