Question

3．設函數f（x）=2x³-bx²+cx（x∈R），若函數g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數．
（1）求b，c的值；
（2）求f（2）+f′（2）的值；
（3）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的導數，由g（x）為奇函數，可得b=-6，c=0；
（2）求出f（x）的導數，代入x=2，計算即可得到所求和；
（3）求得切線的斜率和切點，由點斜式方程，即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）函數f（x）=2x³-bx²+cx的導數為f′（x）=6x²-2bx+c，
函數g（x）=f（x）-f′（x）=2x³-（b+6）x²+（c+2b）x-c，
由奇函數的定義，可得g（-x）=-g（x），
即有b+6=0，c=0，解得b=-6，c=0；
（2）f（x）=2x³+6x²的導數為f′（x）=6x²+12x，
即有f（2）+f′（2）=16+24+24+24=88；
（3）f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為6+12=18，
切點為（1，8），
則f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-8=x-1，
即為x-y+7=0．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，同時考查奇函數的定義，考查運算能力，屬于基礎題．