Question

14．一半徑為4m的水輪，如圖所示水輪圓心O距離水面2m，己知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上P點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中P₀）點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．
（1）求P點(diǎn)相對(duì)于水面的高度h（m）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式：
（2）P點(diǎn)第一次達(dá)到最高點(diǎn)約要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，當(dāng)t=0時(shí)，h=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得；
（2）令最大值為6，即h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2=6，可求得時(shí)間．

解答 解：（1）依題意可知h的最大值為6，最小為-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+B=6}\\{-A+B=-2}\end{array}\right.$，∴A=4，B=2；
∵水輪每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為$\frac{4×2π}{60}$=$\frac{2π}{15}$，得h=4sin（$\frac{2π}{15}$t+φ）+2，
當(dāng)t=0時(shí)，h=0，得sinφ=-$\frac{1}{2}$，即φ=-$\frac{π}{6}$，故所求的函數(shù)關(guān)系式為h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2
（2）令h=4sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）+2=6，得sin（$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$）=1，
取$\frac{2π}{15}$t-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得t=5，
故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要5s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的問(wèn)題．考查了運(yùn)用三角函數(shù)的最值，周期等問(wèn)題確定函數(shù)的解析式．