Question

【題目】已知曲線(xiàn)C1:y2=2x與C2:y=x2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.

(1)求過(guò)點(diǎn)P且與曲線(xiàn)C2相切的直線(xiàn)方程;

(2)求兩條曲線(xiàn)所圍圖形(如圖所示的陰影部分)的面積S.

Answer 1

【答案】（1）2x-y-2=0.（2）

【解析】

（1）先通過(guò)解方程組求交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線(xiàn)的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可．

（2）先確定積分區(qū)間，再確定被積函數(shù)，從而可求由兩條曲線(xiàn)曲線(xiàn)C1：y2=2x與C2：y=所圍圖形的面積．

解:(1)曲線(xiàn)C1:y2=2x與C2:y=x2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P(2,2),

y=x2的導(dǎo)數(shù)為y'=x,則y'x=2=2,而切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),

∴曲線(xiàn)C2:y=x2在x=2處的切線(xiàn)方程為y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.

(2)由曲線(xiàn)C1:y2=2x與C2:y=x2可得,兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(2,2),

∴兩條曲線(xiàn)所圍圖形的面積

S=dx==.