Question

3．在△ABC中，若∠A=60°，a=1，求△ABC內(nèi)切圓半徑R的最大值．

Answer 1

分析 當(dāng)A在$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，A距離BC最遠(yuǎn)，△ABC內(nèi)切圓半徑R的最大，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)△ABC內(nèi)切圓半徑R的最大時(shí)，△ABC為正三角形，進(jìn)而可求滿足條件的內(nèi)切圓半徑

解答 解：當(dāng)A在$\widehat{AB}$的中點(diǎn)時(shí)，A距離BC最遠(yuǎn)，△ABC內(nèi)切圓半徑R的最大，
設(shè)△ABC外接圓半徑r，外接圓的圓心O，內(nèi)切圓的圓心M，
連接AO交BC于點(diǎn)D，
∵A在$\widehat{AB}$的中點(diǎn)且O為三角形的外心，
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$，AB=AC，
∵A=60°，
∴△ABC為正三角形，
∴M在AD上，且AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)AB與⊙M切于E，連接EM，則EM=EMD=R，
∵∠A=60°，
∴∠BAD=30°，
Rt△AEM中，AM=2EM=2R，
∵AM+MD=AD∴2R+R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即R的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，理解內(nèi)心的含義是求解本題的關(guān)鍵．