Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過左焦點F₁作圓x²+y²=

1

4

a²的切線，切點為E，直線EF₁交雙曲線右支于點P．若

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），則雙曲線的離心率是（　　）

• A、

  10

• B、2

  2

• C、

  10

  2

• D、

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定E為F₁P的中點，所以O(shè)E為△PF₁F₂的中位線，進而得到|PF₂|=a，|F₁F₂|=2c，|PF₁|=2a+a=3a，PF₁切圓O于E，可得PF₂⊥PF₁，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．

解答： 解：∵

OE

=

1

2

（

OF1

+

OP

），
∴E為F₁P的中點，
∵O為F₁F₂的中點，
∴OE為△PF₁F₂的中位線，
∴OE∥PF₂，|OE|=

1

2

|PF₂|，
∵|OE|=

1

2

a
∴|PF₂|=a
∵PF₁切圓O于E
∴OE⊥PF₁
∴PF₂⊥PF₁，
∵|F₁F₂|=2c，|PF₁|-|PF₂|=2a⇒|PF₁|=2a+a=3a，
∴由勾股定理a²+9a²=4c²
∴10a²=4c²，
∴e=

c

a

=

10

2

．
故選：C．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．