Question

15．已知，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)F，分別以AB、AC為底邊向外作等腰三角形DAB、AEC，且∠BAD=∠BCF，∠ACE=∠CBF．求證：DE平分AF．

Answer 1

分析 如圖，延長(zhǎng)AD至M，延長(zhǎng)AE至N，使得AD=MD，AE=EN，連接MB，NC、MN，作AP⊥MN，連接PB，PC，PF，利用等腰三角形與四點(diǎn)共圓的性質(zhì)先證明點(diǎn)F在直線MN上，再利用三角形中位線定理即可證明．

解答 證明：如圖，延長(zhǎng)AD至M，延長(zhǎng)AE至N，使得AD=MD，AE=EN，
連接MB，NC、MN，作AP⊥MN，
連接PB，PC，PF，先證明點(diǎn)F在直線MN上，∵AD=MD=BD，∴MB⊥AB，
同理可得：CN⊥AC．又AP⊥MN，
可得A，M，B，P四點(diǎn)共圓，
可得A，N，C，P四點(diǎn)共圓，
可得：∠MPB=∠MAB=∠FCB，∠CPN=∠NAC=∠FBC，
∴∠BPC=180°-∠FBC-∠FCB，又∠BFPC=180°-∠PBC-∠FCB，
∴∠BPC=∠BFC，∴B，C，F(xiàn)，P四點(diǎn)共圓，
∴∠BPF+∠BCF=180°，∴∠BPM+∠BPF=180°，
∴M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線．即點(diǎn)F在直線MN上．
又AD=MD，AE=EN，
∴DE為△AMN的中位線，∴DE平分AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形與四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形內(nèi)角和定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．