Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若且，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：(1)對函數求導，然后分類討論若時、時和時三種情況，分別給出單調性（2）法一：構造，求導算出最值，構造，利用二階導數，得，從而得證；法二：利用放縮法當時，得，即，然后再證明；法三：對問題放縮由于，則只需證明，然后給出證明

解析：解法一：（1）函數的定義域為，

，

①若時，則， 在上單調遞減；

②若時，當時， ；

當時， ；

當時， .

故在上， 單調遞減；在上， 單調遞増；

③若時，當時， ；

當時， ；當時， .

故在上， 單調遞減；在上， 單調遞増.

（2）若且，

欲證，

只需證，

即證.

設函數，則.

當時， .故函數在上單調遞增.

所以.

設函數，則.

設函數，則.

當時， ，

故存在，使得，

從而函數在上單調遞增；在上單調遞減.

當時， ，當時，

故存在，使得，

即當時， ，當時，

從而函數在上單調遞增；在上單調遞減.

因為，

故當時，

所以，

即.

解法二：（1）同解法一.

（2）若且，

欲證，

只需證，

即證.

設函數，則.

當時， .故函數在上單調遞增.

所以.

設函數，

因為，所以，所以，

又，所以，

所以，

即原不等式成立.

解法三：（1）同解法一.

（2）若且，

欲證，

只需證，

由于，則只需證明，

只需證明，令，

則，

則函數在上單調遞減，則，

所以成立，

即原不等式成立.