Question

18．已知函數(shù)$f（x）=|\overrightarrow{MP}-x\overrightarrow{MN}|（x∈R）$，其中MN是半徑為4的圓O的一條弦，P為單位圓O上的點，設函數(shù)f（x）的最小值為t，當點P在單位圓上運動時，t的最大值為3，則線段MN的長度為（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 設x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，函數(shù)f（x）的最小值化為點P到直線MN的距離，
結合圖形求出t_max=3時MN的長度．

解答 解：設x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
則函數(shù)f（x）=|$\overrightarrow{MP}$-x$\overrightarrow{MN}$|=|$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{AP}$|，其中P為單位圓O上的點，
∵x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
∴點A在直線MN上；
∴函數(shù)f（x）的最小值t為點P到直線MN的距離，
當t_max=3時，如圖所示；

線段MN的長度為|MN|=2$\sqrt{{4}^{2}{-（3-1）}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了向量知識的運用問題，也考查了轉化思想與數(shù)形結合的應用問題，是綜合題．