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【題目】已知直線與拋物線相切，且與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn).若動點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長為6．

(Ⅰ) 求動點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn)，當(dāng)，且位于直線的兩側(cè)時，證明： .

【答案】(Ⅰ) （）;(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ先由判別式為零可得 的值，再根據(jù)三角形周長可得進(jìn)而由橢圓定義可得方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程，聯(lián)立 得，根據(jù)直線斜率公式及韋達(dá)定理利用分析法證明即可.

試題解析：(Ⅰ) 因?yàn)橹本�與拋物線相切，所以方程有等根，

則，即，所以．

又因?yàn)閯狱c(diǎn)與定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形周長為6,且，

所以

根據(jù)橢圓的定義，動點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且不在軸上，

所以，得，則，

即曲線的方程為（）.

(Ⅱ)設(shè)直線方程 ，聯(lián)立 得，

△=-3+12>0，所以， 此時直線與曲線有兩個交點(diǎn), ，

設(shè) ， ，則，

∵，不妨取，

要證明恒成立，即證明，

即證，也就是要證

即證由韋達(dá)定理所得結(jié)論可得此式子顯然成立，

所以成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線是過點(diǎn)，傾斜角為的直線，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）求曲線的普通方程和曲線的一個參數(shù)方程；

（2）曲線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集為x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），則一元一次不等式ax+b＜0的解集為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；

（Ⅱ）證明： 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移一個單位得到曲線．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于2.

求拋物線的方程；

若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證直線恒過軸上的某定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實(shí)根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有兩解，則x的取值范圍是（ ）
A.x＞2
B.x＜2
C.
D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD、ADEF為正方形，G，H是DF，F(xiàn)C的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：BC⊥平面CDE．

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