Question

【題目】已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值為正數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意可設f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）

即a（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集為（1，3）

∴a＜0，f（x）=ax2﹣2（2a+1）x+3a

又方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，

∴ax2﹣2（2a+1）+9a=0有兩相等實根

∴△=4（2a+1）2﹣36a2=0

∴ （a=1舍去）

（2）解： ＞0

∵a＜0

∴a2+4a+1＞0

故

【解析】（1）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，結合不等式的解集，利用待定系數法進行求解即可求f（x）的解析式；（2）根據二次函數的性質進行求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．