Question

9．根據統(tǒng)計某種改良土豆畝產增加量y（百斤）與每畝使用農夫1號肥料x（千克）之間有如下的對應數據：

x（千克）	2	4	5	6	8
y（百斤）	3	4	4	4	5

（1）畫出數據的散點圖．
（2）依據表中數據，請用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；并根據所求線性回歸方程，估計如果每畝使用農夫1號肥料10千克，則這種改良土豆畝產增加量y是多少斤？
參考公式：
1．回歸方程系數公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$
2.$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=145，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=106．

Answer 1

分析 （1）把所給的5對數據寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）根據所給的這組數據求出利用最小二乘法所需要的幾個數據，代入求系數b的公式，求得結果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．把x=10代入線性回歸方程，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖-------------（3分）
（2）$\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5$----------------（4分）
$\overline{y}=\frac{3+4+4+4+5}{5}=4$---------------（5分）
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=106-----------------------（6分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}={2^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}+{8^2}=145$----------------------------------------（7分）
$\hat b=\frac{106-5×5×4}{{145-5×{5^2}}}=0.3$----------------------------------------（8分）
$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=4-0.3×5=2.5$-------------------------------------------（9分）
所以y關于x的線性回歸方程：$\hat y=0.3x+2.5$------------------------------------（10分）
當x=10時，$\hat y=0.3×10+2.5=5.5$---------------------------------------（11分）
答：估計如果每畝使用農夫1號肥料10千克，則這種改良土豆畝產增加量y是550斤．-（12分）

點評 本題考查線性回歸方程，兩個變量之間的關系，除了函數關系，還存在相關關系，通過建立回歸直線方程，就可以根據其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關系的了解．