Question

【題目】已知，其中．

（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．

（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；

（2）先求導(dǎo)，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；

（3）取得到，取，可得

，累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.

解：（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，則

令，解得

當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無極小值；

（2）因為，

所以，

因為在區(qū)間上遞增，

所以在上恒成立，

所以在區(qū)間上恒成立．

當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，

當(dāng)時，，

設(shè)，則在區(qū)間上恒成立．

所以在單調(diào)遞增，則，

所以，即

綜上所述．

（3）由（2）可知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上遞增，

所以，即，

取，則

．

所以

所以