Question

18．（1）求證：cos$\frac{π}{5}$•cos$\frac{2}{5}$π=$\frac{1}{4}$；
（2）求證：cos20°•cos40°•cos80°=$\frac{1}{8}$．
（3）由（1）（2）兩題概括出一般規(guī)律，并證明．

Answer 1

分析 首先，考察所給等式，每個等式中兩個角的關系都是二倍關系，由它們的形式可以猜得一般規(guī)律，然后，利用公式進行求解．

解答 證明：（1）
cos$\frac{π}{5}$•cos$\frac{2}{5}$π
=$\frac{2sin\frac{π}{5}cos\frac{π}{5}cos\frac{2π}{5}}{2sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{2sin\frac{2π}{5}cos\frac{2π}{5}}{4sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{sin\frac{4π}{5}}{4sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{sin\frac{π}{5}}{4sin\frac{π}{5}}$
=$\frac{1}{4}$，
∴cos$\frac{π}{5}$•cos$\frac{2}{5}$π=$\frac{1}{4}$；
（2）cos20°•cos40°•cos80°
=$\frac{2sin20°cos20°cos40°cos80°}{2sin20°}$
=$\frac{sin40°cos40°cos80°}{2sin20°}$
=$\frac{sin80°cos80°}{4sin20°}$
=$\frac{sin160°}{8sin20°}$
=$\frac{sin20°}{8sin20°}$
=$\frac{1}{8}$．
∴cos20°•cos40°•cos80°=$\frac{1}{8}$．
（3）由（1）（2）兩題概括出一般規(guī)律：
cosα•cos2α•cos4α…cos2^n-1α=$\frac{1}{{2}^{n}}$，（π-2ⁿα=α）（n≥2），
證明如下：
左邊=$\frac{2sinαcosαcos2α…cos{2}^{n-1}α}{2sinα}$
=$\frac{2sin2αcos2α…cos{2}^{n-1}α}{4sinα}$
=$\frac{sin{2}^{n}α}{{2}^{n}sinα}$
=$\frac{1}{{2}^{n}}$=右邊，
所以等式成立．

點評 本題考查歸納推理及三角恒等變換，解題的關鍵是歸納出方程的共性，從而猜想出結論，再由三角函數的相關公式給出證明，本題有一定的探究性，屬于中檔題，考查了分析歸納的能力．