Question

在平面直角坐標，直線l：y=

3

x-3經(jīng)過橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點，且點（0，b）到直線l的距離為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）A、B、C是橢圓上的三個動點A與B關(guān)于原點對稱，且|AC|=|CB|．問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求此時點C的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出c，再利用點（0，b）到直線l的距離為2，求出b，從而可求a，即可得出橢圓E的方程；
（2）分類討論，直線AB的斜率存在且不為0時，設AB：y=kx，代入橢圓方程，求出A的坐標，同理求出C的坐標，表示出面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）對于直線l：y=

3

x-3，令y=0，可得x=

3

，
∴焦點為（

3

，0），
∴c=

3

，
∵點（0，b）到直線l的距離為2，
∴

|-b-3|

2

=2，
∵b＞0，
∴b=1，
∴a=2，
∴橢圓E的方程

x2

4

+y2=1；
（2）①當AB為長軸（或短軸）時，由題意，C是橢圓的上下頂點（或左右頂點），S△ABC=

1

2

•|OC||AB=ab=2；
②當直線AB的斜率存在且不為0時，設AB：y=kx，代入橢圓方程，可得xA2=

4

1+4k2

，yA2=

4k2

1+4k2

，
∵|AC|=|CB|，O為AB的中點，
∴OC⊥AB，
∴直線OC的方程為y=-

1

k

x，
同理可得xC2=

4k2

k2+4

，yC2=

4

k2+4

，
∴OA2=

4(1+k2)

1+4k2

，OC2=

4(1+k2)

k2+4

，
∴S_△ABC=2S_△OAC=|OA||OC|=

4(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

≥

4(1+k2)

(1+4k2)+(4+k2) 2

=

8

5

，
當且僅當1+4k²=4+k²，即k=±1時取等號，
∴k=±1時，△ABC的面積最小值

8

5

，
此時，C（

2 5

5

，±

2 5

5

）或C（-

2 5

5

，±

2 5

5

）．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學思想，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．