Question

已知橢圓Γ：

x2

4

+y2=1．
（1）橢圓Γ的短軸端點(diǎn)分別為A，B（如圖），直線AM，BM分別與橢圓Γ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M（m，

1

2

）滿足m≠0，且m≠±

3

．
①證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)；
②若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值；
（2）若圓φ：x²+y²=4．l₁，l₂是過點(diǎn)P（0，-1）的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)₁交圓φ于T、
R兩點(diǎn)，l₂交橢圓Γ于另一點(diǎn)Q．求△TRQ面積取最大值時直線l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）①設(shè)出AM和BM的方程，與橢圓方程聯(lián)立表示出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式寫出EF的方程，令x=0即可確定與y軸的交點(diǎn)；
②根據(jù)△BME面積是△AMF面積的5倍可推出5|MA||MF|=|MB||ME|，從而建立關(guān)于m的方程，求解即可；
（2）直接設(shè)出兩條直線方程，聯(lián)立直線與圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出|OP|，然后表示出△TRQ面積，利用基本不等式可求出最大值，并確定直線方程．

解答： 解：（1）①A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直線AM的斜率為k1=-

1

2m

，直線BM斜率為k2=

3

2m

，
∴直線AM的方程為y=-

1

2m

x+1，
直線BM的方程為y=

3

2m

x-1．
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0或x=

4m

m2+1

．
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

）．
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

得（m²+9）x²-12mx=0，
解得x=0或x=

12m

m2+9

．
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）；                                
由已知，m≠0，m²≠3，
∴直線EF的斜率
k=

m2-1 1+m2 - 9-m2 9+m2

4m 1+m2 - 12m 9+m2

=

(m2+3)(m2-3)

-4m(m2-3)

=-

m2+3

4m

．
∴直線EF的方程為 y-

m2-1

m2+1

=-

m2+3

4m

(x-

4m

m2+1

)，
令x=0，得y=2，
∴EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)．
②S△AMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，S△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，
∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，
∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

，（m≠0），
∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，
即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵m≠±

3

，
∴m²-3≠0，
∴m²=1，
∴m=±1
（2）∵直線l₁⊥l₂，且都過點(diǎn)P（0，-1），
∴設(shè)直線l₁：y=kx-1，
即kx-y-1=0．
直線l2：y=-

1

k

x-1，
即x+ky+k=0，
∴圓心（0，0）到直線l₁的距離為d=

1

1+k2

，
∴直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦
|TR|=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

；
由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

得，
k²x²+4x²+8kx=0，
∴xQ+xP=-

8k

k2+4

，
∴|QP|=

(1+ 1 k2 )• 64k2 (k2+4)2

=

8 k2+1

k2+4

．
∴S△TRQ=

1

2

|QP|•|TR|=

8 k2+1

k2+4

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 13

=

16 13

13

．
當(dāng)

4k2+3

=

13

4k2+3

，
即k=±

10

2

時等號成立，
此時直線l1：y=±

10

2

x-1

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，基本不等式等知識的靈活應(yīng)用，以及舍而不求的思想方法．屬于難題．