Question

  已知函數(shù)，，，其中，且.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；   

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（III）設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：⑴當(dāng)時(shí)， ∴

令，則， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴                                

⑵，，（）

∴當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)。

綜上得，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為； 

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為                                 

⑶當(dāng)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合；

當(dāng)時(shí)，，

若時(shí)，在上是增函數(shù)，此時(shí)的取值集合；

若時(shí)，在上是減函數(shù)，此時(shí)的取值集合。

對任意給定的非零實(shí)數(shù)，

①當(dāng)時(shí)，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實(shí)數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴；

②當(dāng)時(shí)，在時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴。

綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為。