Question

4．在一圓上任取3點，這三點為頂點的三角形為鈍角三角形的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 根據題意，將圓周按逆時針方向依次標記三點為A、B、C，設出弧AB、弧BC與弧CA的長度，得到所有可能的結果構成的平面區(qū)域與“三點組成銳角三角形”構成的平面區(qū)域，分別算出兩個區(qū)域的面積再利用幾何概型公式加以計算，可得能構成銳角或直角三角形的概率，即可得出結論．

解答 解：如圖①，設半徑為1，按逆時針方向依次標記三點為A、B、C，設弧AB=x，弧BC=y，弧CA=2π-x-y．

依題意，所有可能的結果構成平面區(qū)域為：Ω={（x，y）|0＜x＜2π，0＜y＜2π，0＜2π-x-y＜2π}．
事件A=“三點組成銳角或直角三角形”構成的平面區(qū)域為：A={（x，y）∈Ω|0＜x≤π，0＜y＜π，0＜2π-x-y＜π}．
分別作出Ω與A中不等式組對應的平面區(qū)域，得到兩個三角形及其內部區(qū)域，如圖②所示
∵平面區(qū)域Ω的面積為2π²，平面區(qū)域A的面積為$\frac{1}{2}×π×π$=$\frac{1}{2}{π}^{2}$，
∴故所求概率為P（A）=$\frac{1}{4}$．
∴在一圓上任取3點，這三點為頂點的三角形為鈍角三角形的概率是1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故選：C．

點評 本題給出圓周上的任意三點，求此三點能構成鈍角三角形的概率，著重考查了圓內接三角形、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型計算公式等知識，屬于中檔題．