Question

14．若函數(shù)f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，（a＞0）存在負(fù)數(shù)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （2，6）
• C． （0，6）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，再根據(jù)存在負(fù)數(shù)零點(diǎn)，則滿足f（0）＜0，解得即可

解答 解：∵f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，
∴f′（x）=（x-1）（e^x+2a），
∵a＞0，
∴e^x+2a＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=-e＜0，
若函數(shù)f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²（a＞0）存在負(fù)數(shù)零點(diǎn)，
∴f（0）=-2+a＜0，解得0＜a＜2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題