Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）討論函數(shù)的定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）對(duì)求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可能求出函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）由函數(shù)在處取得極值，可得，從而解得，恒成立等價(jià)于，構(gòu)造，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可得出，從而求得實(shí)數(shù)的最大值.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時(shí)，在 上恒成立，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減.

∴在(0，＋∞)上沒(méi)有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，由得.

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn).

(2) ∵函數(shù)在處取得極值，

∴，則，從而

∵恒成立

∴恒成立

令，則，由得，則在上遞減，在上遞增.

∴，故實(shí)數(shù)b的最大值是