Question

7．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD上一點(diǎn)，AB=AD=3，AA₁=2，CE=1，P是AA₁上一點(diǎn)，且DP∥平面AEB₁，F(xiàn)是棱DD₁與平面BEP的交點(diǎn)，則DF的長為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{8}{9}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 在棱AB上取點(diǎn)M，使得BM=1，
過點(diǎn)M作MN∥BB₁，交AB₁于N，連接EM、EN，
證明平面EMN∥平面ADD₁A₁，求出MN的值，
由AP=MN得出DP∥平面AEB；
再取DG=AP，連接CG，利用平行關(guān)系求出DF的長．

解答 解：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB上取點(diǎn)M，使得BM=1，
過點(diǎn)M作MN∥BB₁，交AB₁于N，連接EM、EN，如圖所示；
則平面EMN∥平面ADD₁A₁；
∵BB₁=2AM=2BM，
∴MN=$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)AP=MN=$\frac{4}{3}$時(shí)，DP∥EN，
即DP∥平面AEB₁；
∵F是棱DD₁與平面BEP的交點(diǎn)，
∴EF∥BP；
取DG=AP=$\frac{4}{3}$，連接CG，則CG∥BP，
∴EF∥CG，
∴DF=$\frac{2}{3}$DG=$\frac{8}{9}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了求線段長的應(yīng)用問題，是綜合題．