Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)且的圖象過點.

（1）求實數(shù)n的值并寫出的表達式；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)t的范圍；

（3）若方程恰有4個互異的實數(shù)根，求實數(shù)a的范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

（1）首先求得指數(shù)函數(shù)的解析式，再根據(jù)定義在上的奇函數(shù)，得到，由此求得的值并求得的表達式.

（2）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性化簡不等式，得到，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（3）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)化簡，根據(jù)是單調(diào)函數(shù)得到，利用換元法，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合圖像求得的取值范圍.

（1）由題意可設(shè)個，又過點得，

所以，又為奇函數(shù)，∴得

所以

（2）由，在上單調(diào)遞減，

又為奇函數(shù)，由得

所以，即

令，由題意得，

（3）由于為奇函數(shù)，所以由得，又在上遞減，

顯然，∴令，則

方程有4個互異實數(shù)根，畫出的圖象如下圖所示，由圖可得.