Question

【題目】已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且垂直于的直線分別交，于兩點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，且，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由雙曲線的性質(zhì)可得：|AF|＝b，|OA|＝a，∴tan∠AOF＝，∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根據(jù)等差中項(xiàng)列等式可得 a＝2b，可得離心率．

由雙曲線的性質(zhì)可得：|AF|＝b，|OA|＝a，tan∠AOF＝，

∴tan∠AOB＝tan2∠AOF＝

在Rt△OAB中，tan∠AOB＝

∴|OB|＝，又|OA|，|AB|，|OB|成等差數(shù)列，∴2|AB|＝|OA|+|OB|，

∴，化簡得：2a2﹣3ab﹣2b2＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，

∴a﹣2b＝0，即a＝2b，∴a2＝4b2＝4（c2﹣a2），5a2＝4c2，∴e2＝．

故選：A．