Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)是橢圓： 上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓： 作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)， ，直線， 的斜率分別記為， .　

（1）求證： 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)橹本�： ， ： ，與圓相切，推出， 是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得，結(jié)合點(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，得出；（2）當(dāng)直線， 不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)， ，通過(guò)，推出，結(jié)合， 在橢圓上，可得，再討論直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有，然后表示出，結(jié)合基本不等式即可求出四邊形面積的最大值.

試題解析：（1）因?yàn)橹本�： ， ： ，與圓相切，

由，可得， 是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

∴，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

∴.

（2）（i）當(dāng)直線， 不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)， ，

因?yàn)?/span>，所以，即，

因?yàn)?/span>， 在橢圓上，

所以，

整理得，所以，

所以.

（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有，

綜上： .　

因?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，

所以的最大值為1.