Question

19．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，點(diǎn)M在線段EF上．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）當(dāng)EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明：BC⊥平面ACFE；
（2）根據(jù)線面平行的判定定理，確定EM的長度，然后根據(jù)AM∥平面BDF的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE
（2）當(dāng)EM=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，AM∥平面BDF，
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2，∴$AN=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
∵EM=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$、∴PM∥AN，PM=AN，∴四邊形ANFM是平行四邊形，∴AM∥NF
又∵NF?平面BDF，AM?平面BDF∴AM∥平面BDF．

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的位置關(guān)系的判斷，要求熟練掌握常用的判定定理和性質(zhì)定理．