Question

【題目】如圖所示，將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為( )

A.33B.56C.64D.78

Answer 1

【答案】B

【解析】

記分隔邊的條數(shù)為，首先將方格按照按圖分三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，將方格的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為，列中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)數(shù)記為，三種顏色分別記為，對(duì)于一種顏色，設(shè)為含有色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)行含有色方格時(shí)，，否則，類似的定義，計(jì)算得到，再證明，再證明對(duì)任意均有，最后求出分隔邊條數(shù)的最小值.

記分隔邊的條數(shù)為，首先將方格按照按圖分三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，

此時(shí)共有56條分隔邊，即，

其次證明：，

將將方格的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為，列中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)數(shù)記為，三種顏色分別記為，對(duì)于一種顏色，設(shè)為含有色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)行含有色方格時(shí)，，否則，類似的定義，

所以，

由于染色的格有個(gè)，設(shè)含有色方格的行有個(gè)，列有個(gè)，則色的方格一定再這個(gè)行和列的交叉方格中，

從而，

所以①，

由于在行中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，

類似的，在列中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，

則②

③

下面分兩種情形討論，

(1)有一行或一列所有方格同色，

不妨設(shè)有一行均為色，則方格的33列均含有的方格，又色的方格有363個(gè),故至少有11行有色方格，于是④

由①③④得

，

(2)沒(méi)有一行也沒(méi)有一列的所有方格同色,

則對(duì)任意均有，

從而，由式②知：

，

綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56.

故選：B.