Question

【題目】若無窮數(shù)列滿足：存在，對(duì)任意的，都有（為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)

（1）若無窮數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的值

（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由.

（3）設(shè)無窮數(shù)列既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，其中互質(zhì)，求證：數(shù)列具有性質(zhì)

Answer 1

【答案】（1）6；（2）不具有；詳見解析（3）證明見解析；

【解析】

（1）由題意可得任意的，都有，可得，即可得解；

（2）由題意可得，若具有性質(zhì)，由新定義可得，即可判斷；

（3）由題意可得對(duì)任意，均有，，進(jìn)而可得、、，再證明即可得解.

（1）無窮數(shù)列具有性質(zhì)，

，，

又，即，

；

（2）設(shè)無窮數(shù)列的公差為d，無窮數(shù)列公比為q，，

則，，，，

，，，

假設(shè)具有性質(zhì)，，

則對(duì)于任意的，

均有

，

即對(duì)任意均成立，式子左邊是變量，右邊是常數(shù)，所以

不恒成立，故假設(shè)錯(cuò)誤，

不具有性質(zhì)；

（3）證明：無窮數(shù)列具有性質(zhì)，

，，①

無窮數(shù)列具有性質(zhì)，

，，②

互質(zhì)，

由①得，由②得，

即，

當(dāng)時(shí)，，

數(shù)列具有性質(zhì).