Question

【題目】已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且.

（1）若橢圓經(jīng)過(guò)圓的圓心，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）設(shè)，由在橢圓上求出，再由橢圓過(guò)點(diǎn)得，從而可得，得橢圓方程；

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，，，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，同時(shí)注意，由弦長(zhǎng)公式表示出后可得的取值范圍，由向量線性運(yùn)算求出點(diǎn)坐標(biāo)，交代入橢圓方程得出的關(guān)系，從而得的范圍．

（1）設(shè)，因?yàn)?/span>，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

，，又由橢圓的方程得，

所以，

又橢圓過(guò)圓的圓心，

所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)，，，

由得：由，得：

，.

，

，，結(jié)合（*）得：.

，.

從而，.

∵點(diǎn)在橢圓上，，

整理得：即，，

或.