Question

5．下列函數滿足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的是（　　）

• A． f（x）=x²|x|
• B． f（x）=-xe^|x|
• C． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（x+1），x≥0}\\{lg（1-x），x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$
• D． f（x）=x+sinx

Answer 1

分析 滿足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的函數為奇函數，且在R上為減函數，進而得到答案．

解答 解：滿足“?x∈R，f（x）+f（-x）=0，且f′（x）≤0”的函數為奇函數，且在R上為減函數，
A中函數f（x）=x²|x|，滿足f（-x）=f（x），故函數為偶函數，
B中函數f（x）=-xe^|x|，滿足f（-x）=-f（x），即函數為奇函數，
且f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}（x-1）{e}^{-x}，x＜0\\-（x+1）{e}^{x}，x≥0\end{array}\right.$≤0恒成立，故在R上為減函數，
C中函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lg（x+1），x≥0\\ lg（1-x），x＜0\end{array}\right.$，滿足f（-x）=f（x），故函數為偶函數；
D中函數f（x）=x+sinx，滿足f（-x）=-f（x），即函數為奇函數，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函數，
故選：B．

點評 本題以全稱命題為載體，考查了函數的奇偶性和函數的單調性，難度中檔．