Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若存在，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)得，又切線方程為；（2）由（1）得在上是增函數(shù)，又不等式的解集為故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（3）將原命題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，只要即可．再利用導(dǎo)數(shù)工具，結(jié)合分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想求得的取值范圍為．

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，，

又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．

（2）由（1），，

因?yàn)楫?dāng)，時，總有在上是增函數(shù)，

又，所以不等式的解集為，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

（3）因?yàn)榇嬖?/span>，使得成立，

而當(dāng)時，，

所以只要即可．

又因?yàn)?/span>，，的變化情況如下表所示：

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以當(dāng)時，的最小值，

的最大值為和中的最大值．

因?yàn)?/span>，

令，因?yàn)?/span>，

所以在上是增函數(shù)．

而，故當(dāng)時，，即；

當(dāng)時，，即．

所以，當(dāng)時，，即，

函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．

當(dāng)時，，即，

函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．

綜上可知，所求的取值范圍為．