Question

6．如圖，已知正方形ABCD與矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1．
（1）求證：EC⊥平面ABCD；
（2）若點M為EF的中點，求證：AM∥平面BDE；
（3）線段EF上是否存在點N，使得AN⊥平面BDF，若存在，求出NF的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據邊EC兩個平面的交線垂直即可證得結論；
（2）設BD∩AC=O，連結EO，由已知得四邊形EOAM為平行四邊形，由此能證明AM∥平面BDE；
（3）設AC∩BD=O，OF∩AN=G，連結OF、DG，過F作FH⊥DG于H，推導出AN⊥平面BDF，從而AN⊥OF，∠ANF=∠AFG=$\frac{π}{4}$，進而NF=AF=1，N為EF的中點．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ACEF是矩形，
∴EC⊥AC．
又∵正方形ABCD與矩形ACEF所在的平面互相垂直，正方形ABCD∩矩形ACEF=AC，
∴EC⊥平面ABCD；
（2）證明：設BD∩AC=O，連結EO，
∵E，M為中點，且ACEF為矩形，
∴EM∥OA，EM=OA，
∴四邊形EOAM為平行四邊形，
∴AM=EO，
∵EO?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（3）線段EF上存在點N，使得AN⊥平面BDF．理由如下：
設OF∩AN=G，連結OF、DG，
過F作FH⊥DG于H，
∴平面ADN∩平面BDF=DG，
∵平面ADN⊥平面BDF，FH?平面BDF，
∴FH⊥平面ADN，
∴FH⊥AN，即AN⊥FH，
∵AN⊥BD，BD、FH相交，∴AN⊥平面BDF，
∴AN⊥OF，
∴∠ANF=∠AFG，
∵OA=AF=1，∴∠AFG=$\frac{π}{4}$，∠ANF=$\frac{π}{4}$，
∴NF=AF=1．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，是中檔題，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關系和性質的合理運用．