Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)E，

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．判斷λ+μ是否為定值，若是，計(jì)算出該定值；不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得

2b2 a =1 2b=a

，解得即可．
（2）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）．與橢圓的方程聯(lián)立化為（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，由

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．利用向量的線性運(yùn)算即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得

2b2 a =1 2b=a

，解得

a=2 b=1

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）．
聯(lián)立

y=k(x+1) x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
△＞0．
x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，（*）
∵

AQ

=λ

QB

，∴（-1-x₁，-y₁）=λ（x₂+1，y₂），可得-（x₁+1）=λ（x₂+1）．
得λ=-

x1+1

x2+1

．
由

AE

=μ

EB

，可得（-4-x₁，y₀-y₁）=μ（x₂+4，y₂-y₀），可得-（x₁+4）=μ（x₁+4），
得μ=-

x1+4

x2+4

．
∴λ+μ=-

(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)

(x2+1)(x2+4)

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

，
把（*）代入分子=

8k2-8

1+4k2

-

40k2

1+4k2

+8=0，
∴λ+μ=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的線性運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．