Question

【題目】如圖,在四棱錐中,丄平面,，，，，.

(1)證明丄;

(2)求二面角的正弦值;

(3)設(shè)為棱上的點(diǎn),滿(mǎn)足異面直線(xiàn)與所成的角為,求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) ；(3)

【解析】

（1）要證異面直線(xiàn)垂直，即證線(xiàn)面垂直，本題需證平面

（2）作于點(diǎn)，連接。 為二面角的平面角，在中解出即可。

（3）過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)與線(xiàn)段相交，交點(diǎn)為，連接，；計(jì)算出AF、BF，再在中利用的余弦公式，解出EF,即可求出AE的長(zhǎng)

（1）證明：由平面，可得，

又由，，故平面。

又平面，所以。

（2）如圖，作于點(diǎn)，連接。

由，，可得平面。

因此，從而為二面角的平面角。

在中，，，由此得

由（1）知，故在中，

因此所以二面角

的正弦值為。

（3）因?yàn)?/span>，故過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)必與線(xiàn)段相交，

設(shè)交點(diǎn)為，連接，；

∴或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)與所成的角；

由于，故；

在中，，；

∴；

∴在中，由，，

可得：；

由余弦定理，可得，，

解得：，設(shè)；

在中，；

在中，；

∴在中，，∴；

；

解得；∴。