Question

18．一個(gè)水池有若干進(jìn)水量相同的水龍頭，如果所有水龍頭同時(shí)放水，那么24min可注滿水池，如果開始時(shí)全部放開，以后每隔相等的時(shí)間關(guān)閉一個(gè)水龍頭，到最后一個(gè)水龍頭關(guān)閉時(shí)，恰好注滿水池，而且最后一個(gè)水龍頭放水的時(shí)間恰好是第一個(gè)水龍頭放水時(shí)間的5倍，問最后關(guān)閉這個(gè)水龍頭放水多長時(shí)間？

Answer 1

分析 設(shè)共有n個(gè)水龍頭，每個(gè)水龍頭放水時(shí)間從小到大依次為x₁，x₂，…x_n，則根據(jù)條件可得數(shù)列{x_n}成等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)共有n個(gè)水龍頭，每個(gè)水龍頭放水時(shí)間從小到大依次為x₁，x₂，…x_n，
由已知x₂-x₁=x₃-x₂=…=x_n-x_n-1，
∴數(shù)列{x_n}成等差數(shù)列，
每個(gè)水龍頭1min，放水$\frac{1}{24n}$，（設(shè)水池的容積為1），
∴$\frac{1}{24n}$•（x₁+x₂+…+x_n）=1，
即S_n=24n，
∴$\frac{n（{x}_{1}+{x}_{n}）}{2}$=24n，
∴x₁+x_n=48，
∵x_n=5x₁，
∴6x₁=48，
則x₁=8（min），x_n=40（min），
故最后關(guān)水龍頭的放水40min．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，明確條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用等差數(shù)列這一數(shù)學(xué)模型是解決本題的關(guān)鍵．