Question

【題目】在中，點(diǎn)，角的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，邊上的高所在直線(xiàn)的方程為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求的內(nèi)切圓圓心.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意可得的斜率為，從而可得直線(xiàn)的方程；將與聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，求出直線(xiàn)的方程，將的方程與的方程聯(lián)立即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）內(nèi)切圓圓心為三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，從而可求出，再根據(jù)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，即可求得.

（1）由題意知的斜率為，又點(diǎn)，

∴直線(xiàn)的方程為，即.

解方程組，得

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

又的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，

∴點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，

∴直線(xiàn)的方程為，即

解方程組，得

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）內(nèi)切圓圓心為三角形內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)

∴設(shè)內(nèi)切圓圓心為

∴

∴

解得：

又直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，，

結(jié)合圖形可知：舍去

∴的內(nèi)切圓圓心為.