Question

3．在半徑為R的圓形鐵皮上割去一個圓心角為θ的扇形，使剩下部分圍成一個圓錐，θ為何值時圓錐的容積最大？

Answer 1

分析 在半徑為R的圓形鐵皮上割去一個圓心角為θ的扇形，設剩下部分的圓周角為α，圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，求出r²+h²=R²，表示出體積表達式，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，得到結果．

解答 解：在半徑為R的圓形鐵皮上割去一個圓心角為θ的扇形，
設剩下部分的圓周角為α，圓錐的底面半徑為r，高為h，體積為V，
那么r²+h²=R²，θ=2π-α，

因此，V=$\frac{1}{3}$πr²h
=$\frac{1}{3}$π（R2-h2）h=$\frac{1}{3}$πR2h-$\frac{1}{3}$πh3（0＜h＜R）．…（3分）
V′=$\frac{1}{3}$πR2-πh2．
令V'=0，即$\frac{1}{3}$πR2-πh2=0，得 h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R．…（5分）
當 0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時，V'＞0．
當$\frac{\sqrt{3}}{3}$R＜h＜R時，V'＜0．
所以，h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R時，V取得極大值，并且這個極大值是最大值．…（8分）
把 h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R代入r²+h²=R²，得 r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R．
由Rα=2πr，得 α=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π，
則θ=2π-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π，
答：割去一個圓心角為2π-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$π弧度時，剩下部分圍成圓錐的容積最大．…（12分）

點評 本題考查圓錐與扇形展開圖的關系，體積的計算，考查計算能力，導數(shù)的應用，解題的關鍵是建立起體積的函數(shù)模型，理解函數(shù)的單調性與最值的關系是解本題的重點．