Question

9．如圖所示，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱（底面是正三角形，側棱與底面垂直），D是AC的中點．
（1）證明：AB₁∥平面DBC₁；
（2）若BB₁=8，BC=6，求異面直線BD與AB₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）可連接B₁C，設交BC₁于點E，并連接DE，從而可說明DE∥AB₁，這樣根據(jù)線面平行的判定定理即可得出AB₁∥平面DBC₁；
（2）根據(jù)上面便知，∠EDB為異面直線BD與AB₁所成角，根據(jù)三棱柱為正三棱柱，由BB₁=8，BC=6便可求出BD，BE，AB₁的長，而由DE為△AB₁C的中位線便可求出DE，這樣在△BDE中，根據(jù)余弦定理即可求出cos∠EDB，即求出異面直線BD與AB₁所成角的余弦值．

解答 解：（1）證明：如圖，連接B₁C，交BC₁于點E，連接DE；
∵D是AC中點，E是B₁C中點；
∴DE∥AB₁，且$DE=\frac{1}{2}A{B}_{1}$；
又DE?平面DBC₁，AB₁?平面DBC₁；
∴AB₁∥平面DBC₁；
（2）∵AB₁∥DE；
∴∠EDB是異面直線BD與AB₁所成角；
∵BB₁=8，BC=6，三棱柱A₁B₁C₁-ABC為正三棱柱；
∴$BE=5，A{B}_{1}=10，BD=3\sqrt{3}$，$DE=\frac{1}{2}A{B}_{1}=5$；
∴在△BDE中，由余弦定理得：cos∠EDB=$\frac{B{D}^{2}+D{E}^{2}-B{E}^{2}}{2BD•DE}=\frac{27}{30\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{10}$；
即異面直線BD與AB₁所成角的余弦值為$\frac{3\sqrt{3}}{10}$．

點評 考查正三棱柱的定義，三角形中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，以及異面直線所成角的概念及求法，余弦定理．