Question

【題目】如圖，在多面體中，已知，，，，，平面平面，為的中點(diǎn)，連接.

（1）求證：平面；

（2）求二面角大小的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）過作于先證，，取的中點(diǎn)為，連接，再證，，從而得四邊形為平行四邊形，從而得證；

（2）易知平面，所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在射線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面的法向量和平面的法向量，利用，即可得解.

（1）證明：過作于.

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以四邊形為矩形，所以，，

取的中點(diǎn)為，連接.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，

所以，，所以四邊形為平行四邊形，

所以，因?yàn)?/span>平面，平面.

所以平面.

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，，所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在射線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，，所以，

且，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又，所以，設(shè)平面的法向量為，

則所以.

又，，所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則所以，

設(shè)平面與平面所成角為，

則，

所以.