Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）時, 有恒成立, 求整數(shù)最小值.

Answer 1

【答案】（1） 上遞增，在遞減；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，可得時，，在上單調(diào)遞增；當時，求出導函數(shù)的零點，由函數(shù)零點對定義域分段，結(jié)合導函數(shù)的符號可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，由，得，分離參數(shù)，得在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)，兩次求導可得.由此求得整數(shù)的最小值為.

試題解析：（1）定義域為,時, 在

上單調(diào)遞減；時, 令 , 得(舍去負的). 上遞增,

在遞減.

（2）時,,

在上恒成立, 令,則.

令在遞減, 且時, , 時, ,因此在必存在唯一零點, 不妨設(shè),即,

當時, 單調(diào)遞增；當時, 單調(diào)遞減；因此,

,即,依題意有,

即整數(shù)的最小值為.